井盖为什么是圆的

很多时候，当我们走在城市的街道上，低头看着道路的时候，会觉得为什么道路和非机动车道上有那么多圆形井盖。虽然这样并没有影响太多的交通，但是总觉得路上坑坑洼洼的痕迹那么多，不太好看。然后观察力敏锐的同志会问一个问题？为什么大大小小的井盖几乎都是圆形的，而其他形状的井盖却很少见？

面试问题棘手的微软

也许你们都知道，这样一个看似无厘头的问题，却是一个经典的面试题目。据说这个问题可以从各个方面来回答。有人说因为圆形的井盖容易运输，角落不容易撞，这是真的。相对于三角形，正方形确实有这个优势。有人说圆形井盖受力时，受力会均匀分散，不会聚集在某个位置，不容易造成边缘开裂，也是如此。有人从哲学角度解释。之所以圆形井盖比较多，是因为井口本身是圆形的。井盖自然是圆的。

然而，小然还是想从数学的角度考虑这个问题。

圆形井盖

井盖是维持城市生活正常运转的重要设施。如果坏了或者被偷了，对这一带的人影响很大，甚至会导致生命安全事故。防盗，已经不是金属做的了，真的没什么经济价值。即使井盖没有被盗，也不能直接从井口掉下来。没错，在数学上，大部分井盖造成圆形，就是为了不让井盖掉进井里。

井盖还是圆的

让我们做一个实验。我们用正三角形和正方形做井盖，试着翻过来看看能不能从井口掉下来。这里需要注意的是，其实井口会比井盖略大，这样就保证了井盖可以全面的放在井口。但是相对于整个井盖的尺寸来说，这一点点微不足道，在分析中可以忽略不计。

井口与井盖的结构关系

至于三角形的井盖，当你准备把正三角形放进井口的时候，我们把井盖垂直放进去，很快发现如果为了避免比较长的井盖碰到井口而偏斜一定角度，三角形的井盖很容易穿过井口而不碰到沿井口边缘的位置。有一段时间，我们可能不知道是什么长度决定了我们能不能掉进井口，所以我们从各个角度去尝试。

三角形井盖不可行

很快我们发现根本原因是正三角形的高度小于边长，也就是hc。

正三角形高度与边长的关系

既然三角形不行，那正方形呢？

于是我们又重复了上面的操作，很快我们就发现，方块在下落的过程中还是可以完全落入井口的。但是这里的长度关系并不是上述的高度和边长的关系。

广场也不可行

我们会在下落的过程中旋转角度。从多个方向尝试后，发现正方形的对角线大于它的边长，即ac。所以每次我们总能把方块翻过来，让它在对角线长度内落入井口。

正方形边长与对角线的关系

我们换成长方形怎么样？其实也是一样的，因为毕达哥拉斯定理是存在的，一条长度适中的对角线会比其他一边都长。因此，矩形也可以落入井底，而不接触井盖的边缘。

这时，我们尝试了三角形和正方形。接下来我们来看看正五边形。通过对前两种情况的分析，我们发现井盖能否掉入井口的根本原因是对角线与高度的长度关系。所以我们不用做实验来分析。我们画出正五边形，通过理论计算出正五边形的对角线与高度的关系。

五边形

正五边形对角线与高度的关系

通过对正五边形的考察，我们可以从一开始所列的方程中找到这个问题的本质。我们发现边数越多，对角线和高度越接近。

当高度和对角线长度差较大时，更容易掉入井口，因为下落时可以翻转的角度和空间更多。当高度和对角线长度逐渐趋近时，在下落的过程中转角就不那么容易实现了。

当扩展到无限多边形时，满足条件的井盖自然是圆的

所以我们很自然的推广到边数无限大的时候，也就是当它是圆的时候，高度和对角线会越来越近，一个多边形的高度和对角线比较后是无法区分的。所以无论我们怎么翻圆形的井盖，圆圈总会和井盖牢牢的粘在一起，让它不能掉进去。

所以现在的问题是，难道只有圆形的井盖不会掉到井口下面吗？当然不是。圆度不是井盖能不能掉的根本原因。根本原因就在于那句话。

只要在翻转图形的过程中，图形宽度始终保持一致即可。

当从角度观察圆时，图形所占的宽度都是一样的，导致圆下落过程中为避开井口而进行的翻转操作失效。我们把这个性质叫做等宽，只要能找到满足等宽的图形，就能发明新的“井盖”。

罗徕三角制图

勒洛三角卷

你可能在某些场合见过下图。画的方法也很简单，就是对称中心之间以120度的间隔相交三个半径相等的圆形成的弧形三角形。这个三角形看起来又胖又笨，但它有不寻常的性质。你在任意角度测量一对平行线的宽度，宽度是一样的。这个三角形叫做勒罗伊三角形，是由19世纪的德国工程师弗朗兹雷乌莱亚克斯命名的。也正是基于这个性质，莱洛三角形是井盖问题一个经典答案。

德国工程师弗朗兹勒洛

这个看似简单的胖三角是比较简单的等宽曲线。想象一下这个神奇的属性。在一个平面下安装几个这样的leroy三角形作为轮子，就可以移动平面而不会感觉到平面的波动。这时，又有同学在质疑。既然勒罗伊三角形的随机移动宽度总是一致的，你能做一个轮子吗？答案几乎是不可能的。为什么？

用勒罗伊三角的轮子骑自行车

虽然说勒罗伊三角在情况下都是旋转的，但是图形的宽度不会改变，然而其旋转中心点却在实时波动.想象一下，如果一辆自行车用勒罗伊三角作为它的车轮，前后车轮轴承的位置就是旋转的中心，而且这个中心总是高高低低的，这样自行车就可以骑了，但是它有一种在飞机上骑跷跷板的感觉，好像并不是特别好看。不过有人却从这种怪异的胖三角形里得出灵感来，创造了一件伟大的发明。

当滚动勒罗伊三角形时，飞机根本不动

德国的菲加斯汪克尔(figas wankel)注意到，当勒罗伊三角形在一条直线上翻转时，上下宽度总是相同的，旋转的中心是中间区域的一个小圆。如果用leroy三角形作为转子，在转子中间加一个偏心轴，然后构造一个特定的腔体，可以避免转动过程中的中心波动问题，转子可以继续转动做功？

旋转式发动机的发明者菲加斯汪克尔

但勒罗伊三角有三个明显的角度，在实际加工过程中不容易实现，转子高速旋转时必然会带来更大的磨损，因此使用锐角是不可行的。于是汪克尔采用了变形的勒罗伊三角形，即让一个圆绕着原来的勒罗伊三角形滚动，以圆的比较大边的轨迹重构一个改进的勒罗伊三角形。可以想象，如果这个外围圆的直径大于勒罗伊三角形的直径，那么比较终的轨迹会更加平滑。我们仍然可以证明这条曲线是等宽的，所以用这个光滑的勒罗伊三角形作为发动机转子更合适。

转子发动机模型

理论上是可行的，但在实际制造过程中，汪克尔必须克服各种问题，才有可能使转子发动机成为现实。1927年，经过无数次试验，汪克尔基本解决了气密性、润滑性等一系列技术问题。1967年，日本东洋公司批量在汽车上安装转子发动机。后来让转子发动机大放异彩的马自达公司，几十年来一直坚持研究。马自达在1991年6月23日创造了历史。在当天举行的勒芒24小时耐力赛中，采用转子发动机的马自达787b赛车第二名两圈夺冠！

创造历史的马自达神车787b

虽然转子发动机也有一些缺点，如燃烧不充分，污染严重，油耗高，但它与传统的活塞发动机有很大不同，它的小尺寸可以在发电中产生惊人的功率。它的出现确实给人们在追求权力的过程中带来了耳目一新的感觉。原来发动机还能长成这样。

清扫车的形状也是一个勒罗伊三角形

为什么井盖基本都是圆的？这个问题真的有几千个答案，每个答案都可以令人信服。我们从纯数学的角度得出这么多经典结论，超出了人们的预料。知道了井盖的原理之后，我们发现了莱洛三角形，从莱洛三角形的特点中我们提出了等宽曲线的概念，再到后面将莱洛三角形实践化造出了转子发动机。

我相信井盖的科学将永远延续下去。

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